Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по
Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и
Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов [pic] на операторы sn, знаков интегралов [pic] на множители [pic], а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

[pic], (2.3)

где f(t) - оригинал, F(j() - изображение при s = j(, j - мнимая единица, (
- частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа
|Оригинал x(t) |Изображение X(s) |
|(-функция |1 |
|1 |[pic] |
|t |[pic] |
|t2 |[pic] |
|tn |[pic] |
|e-(t |[pic] |
|(.x(t) |(.X(s) |
|[pic] |[pic] |
|x(t - () |X(s).e-(s |
|[pic] |sn.X(s) |
|[pic] |[pic] |

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)
|Изображение X(s) |Оригинал x(t) |
|[pic] |( ( R, M ( R |M.e-(t |
| |(( и М - | |
| |действительные | |
| |числа) | |
| |( = (1 + j. (2 |2.e-(1t.[M1.cos((2.t) - |
| |M = M1 + j.M2 |M2.sin((2.t)] |
| |(( и М - комплекные)| |

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения: единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = [pic], дельта-функция X(s) = 1, линейное воздействие X(s) = [pic].

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

[pic]

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) =
[pic].

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s2Y + 5sY + 6Y = 2s[pic] + 12[pic],

Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

[pic].

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

[pic]=[pic]=[pic]+[pic]+[pic]=

= [pic].

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

М1 + М2 + М3 = 0 M1 = 2

5.М1 + 3.М2 + 2.М3 = 2 ( M2 = -4

6.М1 = 12 M3 = 2

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по русскому класс, контрольная работа 8.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата