1. Бэта-функции 6

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

[pic]=[pic][pic][pic] (1.1)

сходятся при [pic].Полагая [pic]=1 – t получим:

[pic]= -[pic] =[pic]

т.e. аргумент [pic] и [pic] входят в [pic] симетрично. Принимая во внимание тождество

[pic]

по формуле интегрирования почестям имеем

[pic]

Откуда

[pic]=[pic] (1.2)

7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим

[pic] (1.3)

при целых [pic]= m,[pic]= n,имеем

[pic] но B(1,1) = 1,следовательно:

[pic]

[pic][pic]

Положим в (1.1) [pic] .Так как график функции [pic]симметрична относительно прямой [pic],то

[pic]

8 и в результате подстановки [pic],получаем

[pic] полагая в(1.1) [pic],откуда [pic],получим

[pic] (1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до [pic] и применение ко второму интегралу подстановки [pic],получим