Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем

[pic]

3. Производная гамма функции 11

Интеграл

[pic]

[pic] сходится при каждом [pic],поскольку [pic],и интеграл [pic][pic] при
[pic]сходится.

В области [pic], где [pic]- произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как[pic] и можна применить признак
Веерштраса. Сходящимся при всех значениях [pic] является и весь интеграл
[pic] так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом[pic].Легко видеть что интеграл сходится по[pic]в любой области [pic] где [pic] произвольно.Действительно для всех указаных значений [pic]и для всех [pic] [pic],и так как [pic]сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области [pic]интеграл
[pic]cходится равномерно.[pic]

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при[pic].Докажем дифференцируемость этой функции при [pic].Заметим что функция[pic] непрерывна при [pic] и[pic], и покажем ,что интеграл :
[pic]

12 сходится равномерно на каждом сегменте [pic] , [pic] . Выберем число[pic] так , чтобы [pic]; тогда [pic] при [pic].Поэтому существует число [pic] такое , что [pic] и [pic] на[pic].Но тогда на [pic] справедливо неравенство

[pic] и так как интеграл [pic] сходится, то интеграл [pic] сходится равномерно относительно [pic] на [pic]. Аналогично для [pic] существует такое число
[pic], что для всех [pic] выполняется неравенство [pic]. При таких [pic] и всех [pic] получим [pic], откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл [pic] сходится равномерно относительно [pic] на [pic]. Наконец , интеграл

[pic]

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

[pic], очевидно, сходится равномерно относительно [pic]на [pic]. Таким образом , на [pic] интеграл

[pic]

13 сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом [pic] и справедливо равенство

[pic][pic].

Относительно интеграла [pic]можна повторить теже рассуждения и заключить, что

[pic]

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при[pic]и для ее я [pic]-ой производной справедливо равенство

[pic]

Изучим теперь поведение [pic]- функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной [pic]-функции видно, что [pic] для всех [pic]. Следовательно, [pic] возрастает. Поскольку [pic], то по теореме
Роля на сегменте [1,2]производная [pic] при [pic] и[pic] при [pic], т. е.
Монотонно убывает на [pic]и монотонно возрастает на [pic]. Далее , поскольку [pic], то [pic]при [pic]. При [pic] из формулы [pic]следует , что [pic] при [pic].

14

Равенство [pic], справедливое при [pic], можно использовать при распространении [pic]- функции на отрицательное значение [pic].

Положим для[pic], что [pic]. Правая часть этого равенства определена для [pic] из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция [pic] принимает на (-1,0) отрицательные значения и при [pic], а также при [pic] функция
[pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: bestreferat, древния греция реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата