Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл [pic], который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле [pic]переменную х заменяют переменной t по формуле x=?(t), откуда dx=?’(t)dt.

Теорема. Пусть функция x=?(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

[pic] - (2)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x)

– две дифференцируемые функции переменной х. Тогда: d(uv)=udv+vdu. – (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

[pic]

Но так как [pic], то:

[pic] - (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла [pic]. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида [pic], [pic] , [pic] (Pn(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз.
II. Интегралы вида [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x).
III. Интегралы вида [pic], [pic] (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

[pic]

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе

(n?m), то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

[pic] где R(x) – многочлен-частное (целая часть) дроби [pic]; Pn(x) – остаток (многочлен степени n < m).

6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) [pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: баллов, реферат субъекты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата