Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

r = 1

Z = cos + iЧ sin

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z1 = cos0+ iЧ sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos + iЧ sin = 0 + i = i

k = 2

Z3 = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z4 = cos + iЧ sin

Ответ: Z13 = 1

Z24 = i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r· ( cosj + i· sinj ) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r· (cosj + i· sinj )]n= rn· ( cos nj + i· sin nj )

Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается ), если Zn =w .

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn = w является корнем степени n из числа w . Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w , достаточно решить уравнение Zn = w . Если w =0, то при любом n уравнение Zn = w имеет только одно решение Z= 0. Если w 0, то и Z0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

Z = r· (cosj + i· sinj ), w = p· (cosy + i· siny )

Уравнение Zn = w примет вид:

rn· ( cos nj + i· sin nj ) = p· ( cosy + i· siny )

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p . Следовательно, rn = p и nj = y + 2p k, где kО Z или r = и j = , где kО Z .

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK=[cos() + i· sin()], kО Z (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если w 0, то существует ровно n корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w , соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образ сочинение, реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата