Предыдущая страница реферата | 8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 | Следующая страница реферата

Teopeмa Mонжа. Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпендикулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.

Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам четырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М(z) серединного перпендикуляра к [AB] число чисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно . Для каждой точки N(z) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z= оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.

3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать:

Запишем используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A, B,C, D принадлежат окружности , приходим к выводу, что

3адача 4. Доказать, что если средние линии MP, NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать: .

(a) так как

, cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: но это и есть условие того, что (см. 14).

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен

с вектором. Если и, то точкам Р и Q соответствуют комплексные числа b—а и d—c (рис.7) и

(24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: состав реферата, россия диплом.

Предыдущая страница реферата | 8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 | Следующая страница реферата