Предыдущая страница реферата | 15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 | Следующая страница реферата

и

то , и поэтому критерий (20) их ортогональности трансформируется так:

(21)

Решение задач

Задача 1. Хорды АВ и PQ окружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ, если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Q пробегают данную окружность (рис.3).

Решение. Пусть z - комплексная координата произвольной точки М искомого множества и данная окружность принята за единичную . В силу зависимости координат точек, принадлежащих секущей к окружности (см. предыдущую статью), имеем:

откуда . Подставляя эти выражения во второе равенство, получаем:

,

или

Привлекая , полученному уравнению придадим вид

.

Теперь ясно, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая АВ, а другая имеет уравнение

(22)

в приведенной форме. Как видим, эта прямая не зависит от хорды АВ, а определяется лишь окружностью и точкой С. Она называется полярой точки С относительно окружности .

Задача 2. Около окружности описан квадрат ABCD. Точки - ортогональные проекции его вершин A, В, С, D соответственно на произвольную касательную к окружности. Доказать, что

.

Решение. Радиус окружности примем за единицу длины. Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью имели координаты . Тогда вершины А, В, С, D будут иметь координаты Касательная к окружности в ее произвольной точке Р (р) имеет уравнение в приведенной форме. Руководствуясь формулой (13), находим:

Аналогично получаем:

Равенство доказано.

Задача 3. Вершины A и В прямоугольного равнобедренного треугольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l на прямую, проходящую через вершину С прямого угла, соответственно в точки и . Доказать, что сумма зависит только от угла между осью проекций и прямой l (при заданном треугольнике АВС).

Решение. Примем ось проекций за действительную ось х и вершину С за начало О. Прямую l проведем через О и зададим принадлежащей ей точкой Р(р), |p|=1. Ее уравнение имеет вид. Если вершина A имеет координату а, |а|=1, то вершине В соответствует число ai (рис.4).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: состав реферата, россия диплом.

Предыдущая страница реферата | 15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 | Следующая страница реферата