Математическая статистика
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: контрольная 2, древний реферат
| Добавил(а) на сайт: Кожевин.
Предыдущая страница реферата | 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | Следующая страница реферата
4
Claw.ru | Рефераты по математике | Математическая статистика |
3 |
3 |
2 |
4 |
7 |
12 |
5 |
||
|
f i |
0.100 |
0.075 |
0.075 |
0.050 |
0.100 |
0.175 |
0.300 |
0.125 |
1 |
Если мы усредним значения наблюдений, то формула расчета выборочного среднего
Mx = 
S
Xi ·
ni =S
Xi ·
fi {5–1} будет отличаться от выражения для математического ожидания m
только использованием частот вместо вероятностей.
В нашем примере выборочное среднее значение составит Mx = 171.5 , но из этого пока еще нельзя сделать заключение о равенстве m = 171.5.
· Во-первых, Mx – это непрерывная СВ, следовательно, вероятность ее точного равенства чему-нибудь вообще равна нулю.
· Во-вторых, нас настораживает отсутствие ряда значений X.
· В-третьих, частоты наблюдений стремятся к вероятностям при бесконечно большом числе наблюдений, а у нас их только 40. Не мало ли?
Если мы усредним теперь значения квадратов отклонений наблюдений от выборочного среднего, то формула расчета выборочной дисперсии
Dx = (Sx)2 = 
S
(Xi – Mx)2 ·
ni =S
(Xi)2 ·
fi – (Mx)2 {5–2} также не будет отличаться от формулы, определяющей дисперсию s
2 .
В нашем примере выборочное значение среднеквадратичного отклонения составит Sx= 45.5 , но это совсем не означает, что s =45.5.
И всё же – как оценить оба параметра распределения или хотя бы один из них по данным наблюдений, т.е. по уже найденным Mx и Sx?
Прикладная статистика дает следующие рекомендации:
· значение дисперсии s 2 считается неизвестным и решается первый вопрос – достаточно ли число наблюдений N для того, чтобы использовать вместо величины s ее выборочное значение Sx;
· если это так, то решается второй вопрос – как построить нулевую гипотезу о величине математического ожидания m и как ее проверить.
Предположим вначале, что значение s каким–то способом найдено. Тогда формулируется простая нулевая гипотеза Њ0: m =Mx и осуществляется её проверка с помощью следующего критерия. Вычисляется вспомогательная функция (Z–критерий)
, {5-3} значение и знак которой зависят от выбранного нами предполагаемого m
.
Доказано, что значение Z является СВ с математическим ожиданием 0 , дисперсией 1 и имеет нормальное распределение.
Теперь важно правильно построить альтернативную гипотезу Њ1. Здесь чаще всего применяется два подхода.
Выбор одного из них зависит от того – большое или малое (по модулю) значение Z у нас получилось. Иными словами – как далеко от расчетного Mx мы выбрали гипотетическое m ..
· При малых отличиях между Mx и m разумно строить гипотезы в виде
Њ0: m = Mx;
Њ1: неизвестное нам значение m лежит в пределах
Mx – 
·
Z 2k £
m
£
Mx + 
·
Z 2k {5–4}
Критическое (соответствующее уровню значимости в 5%) значение критерия составляет при этом = 1.96 (двухсторонний критерий). Если оказывается, что выборочное значение критерия ½ Z½ < 1.96, то гипотеза Њ0: m =Mx принимается, данные наблюдений не противоречат ей.
Если же это не так, то мы “в утешение” получаем информацию другого вида – где, на каком интервале находится искомое значение m .
· При больших отличиях (в большую или меньшую сторону) между m и Mx гипотезы строятся иначе Њ0: m = Mx; Њ1: неизвестное нам значение m лежит вне пределов, указанных в {5–4}.
Теперь критическое (соответствующее уровню значимости в 5%) значение критерия составляет Z 1k = 1.645 (односторонний критерий). Если оказывается, что выборочное значение критерия½ Z½ ³ 1.645, то гипотеза Њ0: m =Mx отвергается, данные наблюдений противоречат ей.
Если же это не так, то мы получаем информацию другого вида – где, на каком крае интервале находится искомое значение m . Разумеется, для других (не 5%) значений уровня значимости Z1k и Z 2k являются другими.
Чуть сложнее путь проверки гипотез о математическом ожидании m в случаях, когда s нам неизвестна и приходится довольствоваться выборочным значением среднеквадратичного отклонения по данным наблюдений.
В этом случае вместо “z –критерия” используется т.н. “t–критерий” или критерий Стьюдента
, {5–5} в котором используется значение “несмещенной” оценки для дисперсии s
2
(Sx)2 = 
S
(Xi – Mx)2 ·
ni . {5–6}
Далее используется доказанное в теории положение – случайная величина t имеет специальное распределение Стьюдента с m=N–1 степенями свободы.
Существуют таблицы для этого распределения по которым можно найти вероятность ошибки первого рода или, что более удобно, – граничное значение этой величины при заданных заранее a и m. Таким образом, если вычисленное нами значение ½ t½ ³ t(a ,m), то Њ0 отвергается, если же это не так – Њ0 принимается. Конечно, при большом количестве наблюдений (N>100…120) различие между z– и t–критериями несущественно. Значения критерия Стьюдента для a =0.05 при разных количествах наблюдений составляют:
Таблица 5–3
|
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Категории:Предыдущая страница реферата | 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладки |
|
Главная