Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

(1) АХ=Y
Равенство (1) читается так: преобразование (оператор) А, примененное к вектору Х, ставит ему в соответствие вектор Y.

Преобразование (оператор) называется линейным преобразованием
(линейным оператором), если выполнено условие:

(2) A(Х+Y)=АХ+АY

(3) А(?Х)=?(АХ), где ?- произвольное число таким образом, линейное преобразование переводит сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число в произведение образа того вектора на это же число.

ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРСТРАНСТВО.

Пусть Х n - мерное линейное пространство и у=Ах -линейное преобразование на пространстве Х. Пусть X1?X является некоторым подпространством Х, обладающим однако, тем свойством, что если х?Х1, то и у=Ах?Х1. Подпространство Х1, обладающее подобными свойством, называют инвариантным относительно линейного преобразования у=Ах.

Особенно интересны одномерные инвариантные пространства, представляющие собой прямые в пространстве Х, проходящем через начало координат.

Если х - произвольная точка пространства Х ? - вещественная переменная, меняющаяся от -? до +?, то dx будет представлять собой одномерное подпространство Х, проходящее через х(при ? =0), как показано на рисунке 2. x2

3 dx

2 x1

Такое одномерное подпространство будем обозначать R1. Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые инвариантны относительно у=Ах, т.е. для любого x?R1, имеет место у=Ах?R1.
Обозначим через ? отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.е. можно записать у=?х, таким образом если R1
-инвариантное пространство, то для х?R1 имеет место равенство:

(4) Ах=?х
Вектор х?0, удовлетворяющий соотношению (4) называют собственным вектором матрицы А, а число ? - собственным значением матрицы А.
Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (4) в ином виде, введя тождественное преобразование х=Iх. При этом получим:

(5) (А-?I)х=0
Соотношение (5) представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как:

(a11-?)x1+a12x2+...+a1nxn=0;

(6) a21x1+(a22-?)x2+...+a2nxn=0;

......................... an1 x1+an2x2+...+(a nn-?)xn=0;
Матрица вида (А-?I) (6) называется характеристической матрицей А.
Определитель характеристической матрицы называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы. Из свойств решения уравнения (6) нетривиальное решение (отличное от нуля) возникает только тогда, когда имеется бесчисленное множество решений:

(7) det(A-?I)+a0?n+a1?n-1+....+an-1?=0
Подставив любое собственное значение в исходную систему уравнений (6), получим уравнение:

(8) (А-?iI)х=0 которое имеет непрерывное решение, так как det(A-?iI)=0
Это решение дает вектор хi, определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор называется собственным вектором матицы А.

Свойства:
1. Если собственные числа матрицы А различны (корни характеристического уравнения не равны), то порождаемые или собственные векторы образуют систему линейно независимых векторов.
2. Если матрица А симметрическая, то собственные числа такой матрицы всегда вещественны, а собственный вектор в матрице образует систему ортогональных векторов.

Линейные пространства, элементами которых являются, упорядоченные последовательности n-вешественных чисел называются векторами.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Упорядоченные последовательности из n - чисел х(1),...,х(n), могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки;

x(1) n n

(9) х= ..... = x)i) ; (x(1),...,x(n))=(x(i)) x(n) 1 1
Эти числа, составляющие вектор, называются компонентами вектора.
Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором. n

(10) х=(х(i)) =(х(1),...,х(n))

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7 класс, диплом школа.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата