Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Пусть А матрица линейного преобразования Ах, ?- число.

(6) ?А=[? аij ]
При умножении матрицы А на число ? все ее члены умножаются на это число.

СУММА МАТРИЦ.

Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[aij] и
В=[вij] размером m*n.
Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х?Х вектор у+v?Y

(7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х
Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или:

(8) А+В=[aij]+[вij]
При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ.

Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[вkj] и A=[aik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz.

(9) Z=Cx=A(Bx)=ABx
Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В. n ___ ___

(10) Сij= S аikвkj , i=1,n , j=1,m k=1
Согласно (10) элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде: a11...a1k в11...в1m

(11) АВ= ............ * ............. an1...ank вk1....вkm

ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.

Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а'ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.
Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения:

(12) а'ij=аji

ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.

В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.
Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A.
Определитель det A обладает следующими свойствами:
1) при умножении на ? любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ?;
2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;
3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;
4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;
5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.

Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.

(13) det (A-?I)=a0?n+a1?n-1+...+an-1? an=0
(14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n]

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение:

(15) А*А-1=А-1*А=Е
Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij].
Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.

(16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы.
Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA?0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.

ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.
Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.
Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица.
Преобразованием подобия называют преобразование:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7 класс, диплом школа.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата