Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

1+х+х2+х3+…+хk=(хk+1-1)/(х-1).

Докажем, что тогда выполняется равенство

1+х+х2+х3+…+хk+xk+1=(xk+2-1)/(х-1).

В самом деле

1+х+х2+x3+…+хk+xk+1=(1+x+x2+x3+…+xk)+xk+1=(xk+1-1)/(x-1)+xk+1=(xk+2-1)/(x-1).

Итак, А(k)Þ A(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что форму-ла верна для любого натурального числа n.

ПРИМЕР 3

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2.

Решение: 1) При n=3 утверждение спра-

Пусть А1А2А3…AkAk+1-выпуклый (k+1)-уголь-ник. Проведём в нём диагональ A1Ak. Чтобы под-считать общее число диагоналей этого (k+1)-уголь-ника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A1A2…Ak, прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины Аk+1, и, кроме того, следует учесть диагональ А1Аk.

Таким образом,

k+1=k+(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Итак, А(k)Þ A(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

ПРИМЕР 4

Доказать, что при любом n справедливо утвер-ждение:

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

Х1=12=1(1+1)(2+1)/6=1.

Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что n=k

Хk=k2=k(k+1)(2k+1)/6.

3) Рассмотрим данное утвержде-ние при n=k+1

Xk+1=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Xk+1=12+22+32+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1)2=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

+6(k+1))/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

+2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: обучение реферат, реферат методы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата