Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математиче-ской индукции, утверждение верно для любого на-турального n.

ПРИМЕР 5

Доказать, что для любого натурального n спра-ведливо равенство:

13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4.

Решение: 1) Пусть n=1.

Тогда Х1=13=12(1+1)2/4=1.

Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=k

Xk=k2(k+1)2/4.

3) Докажем истинность этого ут-верждения для n=k+1, т.е.

Хk+1=(k+1)2(k+2)2/4. Xk+1=13+23+…+k3+(k+1)3=k2(k+1)2/4+(k+1)3=(k2(k++1)2+4(k+1)3)/4=(k+1)2(k2+4k+4)/4=(k+1)2(k+2)2/4.

Из приведённого доказательства видно, что ут-верждение верно при n=k+1, следовательно, равен-ство верно при любом натуральном n.

ПРИМЕР 6

Доказать, что

((23+1)/(23-1))´ ((33+1)/(33-1))´ …´ ((n3+1)/(n3-1))=3n(n+1)/2(n2+n+1), где n>2.

Решение: 1) При n=2 тождество выглядит:(23+1)/(23-1)=(3´ 2´ 3)/2(22+2+1),

т.е. оно верно.

2) Предположим, что выражение верно при n=k

(23+1)/(23-1)´ …´ (k3+1)/(k3-1)=3k(k+1)/2(k2+k+1).

3) Докажем верность выражения при n=k+1.

(((23+1)/(23-1))´ …´ ((k3+1)/(k3-1)))´ (((k+1)3+

+1)/((k+1)3-1))=(3k(k+1)/2(k2+k+1))´ ((k+2)((k+

+1)2-(k+1)+1)/k((k+1)2+(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´ ((k+1)2+(k+1)+1).

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математиче-ской индукции, утверждение верно для любого n>2

ПРИМЕР 7

Доказать, что

13-23+33-43+…+(2n-1)3-(2n)3=-n2(4n+3)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: обучение реферат, реферат методы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата