Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

(11k+3+122k+3) делится на 133 без остатка. В самом деле 11k+3+122л+3=11´ 11k+2+122´ 122k+1=11´ 11k+2+

+(11+133)´ 122k+1=11(11k+2+122k+1)+133´ 122k+1.

Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без ос-татка по предположению, а во втором одним из множителей выступает 133. Итак, А(k)Þ А(k+1). В силу метода математической индукции утвержде-ние доказано.

ПРИМЕР 10

Доказать, что при любом n 7n-1 делится на 6 без остатка.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда Х1=71-1=6 де-лится на 6 без остатка. Значит при n=1 утвержде-ние верно.

2) Предположим, что при n=k

7k-1 делится на 6 без остатка.

3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1.

Xk+1=7k+1-1=7´ 7k-7+6=7(7k-1)+6.

Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7k-1 делится на 6 по предположению, а вторым слага-емым является 6. Значит 7n-1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической ин-дукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 11

Доказать, что 33n-1+24n-3 при произвольном на-туральном n делится на 11.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

Х1=33-1+24-3=32+21=11 делится на 11 без остат-ка. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n=k

Xk=33k-1+24k-3 делится на 11 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1.

Xk+1=33(k+1)-1+24(k+1)-3=33k+2+24k+1=33´ 33k-1+24´ 24k-3=

=27´ 33k-1+16´ 24k-3=(16+11)´ 33k-1+16´ 24k-3=16´ 33k-1+

+11´ 33k-1+16´ 24k-3=16(33k-1+24k-3)+11´ 33k-1.

Первое слагаемое делится на 11 без остатка, поскольку 33k-1+24k-3 делится на 11 по предположе-нию, второе делится на 11, потому что одним из его множителей есть число 11. Значит и сумма де-лится на 11 без остатка при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утвер-ждение доказано.

ПРИМЕР 12

Доказать, что 112n-1 при произвольном нату-ральном n делится на 6 без остатка.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда 112-1=120 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утвержде-ние верно.

2) Предположим, что при n=k

112k-1 делится на 6 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: обучение реферат, реферат методы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата