Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

112(k+1)-1=121´ 112k-1=120´ 112k+(112k-1).

Оба слагаемых делятся на 6 без остатка: пер-вое содержит кратное 6-ти число 120, а второе де-лится на 6 без остатка по предположению. Значит и сумма делится на 6 без остатка. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 13

Доказать, что 33n+3-26n-27 при произвольном натуральном n делится на 262(676) без остатка.

Решение: Предварительно докажем, что 33n+3-1 делится на 26 без остатка.

При n=0

33-1=26 делится на 26

Предположим, что при n=k

33k+3-1 делится на 26

Докажем, что утверждение верно при n=k+1.

33k+6-1=27´ 33k+3-1=26´ 33л+3+(33k+3-1) –делится на 26

Теперь проведём доказательство утвер-ждения, сформулированного в условии задачи.

1) Очевидно, что при n=1 утвер-ждение верно

33+3-26-27=676

2) Предположим, что при n=k выражение 33k+3-26k-27 делится на 262 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1

33k+6-26(k+1)-27=26(33k+3-1)+(33k+3-26k-27).

Оба слагаемых делятся на 262; первое делится на 262, потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода мате-матической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 14

Доказать, что если n>2 и х>0, то справедливо неравенство

(1+х)n>1+n´ х.

Решение: 1) При n=2 неравенство справед-ливо, так как

(1+х)2=1+2х+х2>1+2х.

Значит, А(2) истинно.

2) Докажем, что А(k)Þ A(k+1), если k> 2. Предположим, что А(k) истинно, т.е., что справедливо неравенство

(1+х)k>1+k´ x. (3)

Докажем, что тогда и А(k+1) истинно, т.е., что справедливо неравенство

(1+x)k+1>1+(k+1)´ x.

В самом деле, умножив обе части неравенства (3) на положительное число 1+х, получим

(1+x)k+1>(1+k´ x)(1+x).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: обучение реферат, реферат методы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата