Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата



Если комплексное число z = x + iy задано в тригонометрической форме
(21), то комплексное число [pic]= x – iy записывается в форме

[pic] = r (cos(-?) + isin(-?)), поэтому

|z| = |[pic]|, argz = -arg[pic],

т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу [pic] модуль [pic] не меняется, а аргумент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z1 = r (cos? + isin?) , z2 = ? (cos? + isin?),

(24) где r = |z1|, ? = Argz1, ? = |z2|, ? = Argz2.

Пользуясь правилами действий над комплексными числами в алгебраической форме, находим z1z2 = r (cos? + isin?) ?(cos? + isin?) = r?(cos?cos? + icos?sin? + isin?cos? + i2sin?sin? ) = r?(cos?cos? – sin?sin?) + i(cos?sin? + sin?cos?)),

или z1z2 = r? (cos(? + ?) + isin(? + ?) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произведения двух комплексных чисел следует, что

|z1z2| = r? или |z1z2| = |z1| |z2|, (? + ?) = Arg(z1z2), т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.

Предположив, что z2[pic]0, т. е. ?[pic]0, найдем частное двух комплексных чисел z1 и z2 , заданных формулами (24):

[pic]или

[pic]. (26)

Из формулы (26) следует, что

[pic], или [pic]; (27)

? – ? = Arg[pic]. (28)

Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.

Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой формуле z1 = l = l (cos0 + isin0), z2 = z = r (cos? + isin?), получаем z-1 = [pic] = [pic](cos(0-?) + isin(0-?)), z-1 = r-1 (cos(-?) + isin(-?)), (29) откуда |z-1| = r-1, argz-1 = -?, т. е.

|z-1| = |z|-1, argz-1 = -argz.

Таким образом, модуль комплексного числа z-1, обратного числу z, равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента отличается от главного значения аргумента z лишь знаком.

Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos ?
+ isin ?), заданного в тригонометрической форме. Если n — целое положительное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу zn = (r (cos? + isin?))n = rn (cosn? + isinn?),

(30) откуда |zn| = rn, Arg zn = n?.

Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (30) справедлива и для целых отрицательных показателей. В самом деле, так как z-n = (z-1)n , то достаточно применить формулу (30) к числу z-
1, тригонометрическая форма которого определяется формулой (29).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение бульба, реферат на экологическую тему.

Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата