Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + iy, где x – действительная часть (x =
Rez), y – мнимая часть (y = Imz).

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z = x + iy изобразим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор [pic] этой точки
(рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора
[pic] данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|.
Следовательно, по определению r = |z|, |z|[pic]0.

(17)

Поскольку г = [pic](получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| = [pic].

(18)

Эта формула выражает модуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами
|х| и |y| (см. рис. 2).

Отметим, что модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом.

Аргументом комплексного числа z = x + iy называют величину угла ? наклона радиус-вектора [pic] к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часовой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла ? отличаются друг от друга на
2?, или на число, кратное 2?, то точки, соответствующие этим комплексным числам, совпадают; комплексные числа в этом случае равны между собой.
Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2?. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного числа z[pic]0 существует одно и только одно значение, заключенное между —?, +?, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумента и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

|z|[pic]0, -?

0, [pic]1, [pic]2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно
0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно ?, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно ?/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –?/2.

Выразим действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy через его модуль и аргумент. Пусть точка z изображает число z = x + iy
(рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем x = r cos?, y = r sin?,

(19) где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует: cos? = [pic], sin? = [pic], tg? = [pic].

Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i. Так как Re z = 1, Im z
= -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cos? = [pic]. Находим cos ? = [pic], ? = [pic] + 2k? (k = 0, [pic]1, [pic]2, …);

2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg ? = [pic], которое является углом в III четверти. Находим tg ? = 1, ? = [pic] + 2k? (k = 0, [pic]1, [pic]2, …).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число z = x + iy. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. формулы (19)), получаем z = r cos? + ir sin?, или z = r (cos? + isin?) (r[pic]0). (21)
Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.

Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ? в виде i = cos[pic] + isin[pic], или i = (-1)(cos[pic] + isin[pic])

не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у косинуса и синуса разные аргументы, во втором - имеется отрицательный множитель.
Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа ?/2 + 2k? (k =
0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i| = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид i = cos ([pic] + 2k?) + isin ([pic] + 2k?) (k – любое целое число).
Очевидно, что r (cos? + isin?) = r (cos(? +2k?) + isin(? +2k?)).

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2?. Следовательно, если r1 (cos?1 + isin?1) = r2 (cos?2 + isin?2),

(22) то r1 = r2, ?2 = ?1 + 2k? (k = 0, ±1, ±2, ...).

(23)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение бульба, реферат на экологическую тему.

Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата