Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата



Формулу (30) называют формулой Муавра. В частном случае, при r = 1, из этой формулы получаем

(cos ? + isin ?)n = cos n? + isin n?.

ю;

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
Извлечь корень n-й степени из комплексного числа z – это значит найти такое комплексное число ?, что ?n = z. Представим числа z и ? в тригонометрической форме: z = r (cos? + isin?), ? = ? (cos? + isin?), где r
= |z|, ? = Argz; ? = |?|, ? = ?rg?. Обозначим корень n-й степени из комплексного числа z через [pic], тогда по определению

[pic].

[pic].
Применяя формулу (30), получаем
[pic].
На основании формул (22) и (23) из этого равенства следует, что
?n = r, n? = ? + 2k? (k = 0, ± 1, ± 2, …), откуда

[pic], [pic] (k = 0, ± 1, ± 2, …). (31)

Полученные формулы определяют модуль ? и аргумент числа ? – корня степени n из комплексного числа z. Обратно, если дано комплексное число
[pic], то при любом целом k,положительном или отрицательном, n-я степень этого числа равна числу z = r(cos? + isin?). Итак,

[pic], (32) где [pic] - арифметическое значение корня из действительного неотрицательного числа, k – любое целое число. Так как k может принимать любые значения (положительные и отрицательные), то может показаться, что корень n-й степени из комплексного числа z имеет бесконечное множество различных значений. На самом деле различных значений будет только n.
Полагая k = 0, 1, 2, … , n – 1, (33)

получаем следующие n значений корня:

[pic],

[pic],

[pic], (34)

……………………………….

[pic].

Докажем, что среди значений ?i (i = 0, 1, ... , n – 1) нет равных между собой. Пусть p и q – любые различные числа из чисел k = 0, 1, 2, ... , n –
1, тогда

[pic].
Поскольку [pic] не является целым числом (p < n, q < n), то число [pic]2? не будет кратным 2?. Таким образом, комплексные числа
[pic],
[pic] не равны между собой, потому что разность их аргументов не будет кратной 2?
(см. (22) и (23)).

Предположим, что k – любое натуральное число, большее n – 1. Пусть k = nq + r, где 0 ? r ? n – 1, тогда [pic], т. е. значение аргумента при этом значении k отличается от значения аргумента при k = r на число, кратное 2?.
Следовательно, при этом значении k получаем такое же значение корня, как и при k = r, т. е. при значении k=0, 1, 2, ..., n – 1.

Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений, определяемых формулами (34).
Из этих формул видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса [pic] с центром в точке нуль и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действительного числа a также имеет n различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного, в зависимости от знака a и четности n. Корень n-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю, т. е. [pic].

Рассмотрим важный частный случай извлечения корня, а именно извлечения корня n-й степени из числа 1. Представляя это число в тригонометрической форме 1=cos0+isin0 и применяя формулу (34), получаем n значений корня из единицы:

[pic], k = 0, 1, 2, … , n – 1. (35)

На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы изображаются точками, расположенными на окружности радиуса R = 1 и делящими ее на n равных дуг. Одной из таких точек будет точка, изображающая число 1.

Например: найдем все значения корня шестой степени из единицы. По формуле (35), которая в данном случае принимает вид

[pic], k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, получаем шесть следующих значений:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение бульба, реферат на экологическую тему.

Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата