Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

где Re — начальные буквы латинского слова realis (действительный), Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (воображаемый). Кроме указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(?), b = I(?), где
(a, b) = a + bi. Числа вида bi называют чисто мнимыми числами или просто мнимыми.

85

Комплексное число a + bi считают равным нулю тогда и только тогда, когда а = 0, b = 0:

[pic] [pic]. (9)

Два комплексных числа a + bi и c + di считают равными тогда и только тогда, когда равны между собой соответственно их действительные и мнимые части, т. е. a = с, b = d:

[pic]. (10)

Комплексное число a - bi называют сопряженным комплексному числу a + bi.
Обозначим число a - bi буквой [pic] = a + bi. Числу [pic] будет сопряжено число a – (-bi) = a + bi = ?. Вследствие этого числа ? = a + bi и [pic] = a
- bi называют комплексно сопряженными числами. Действительные числа и только они сопряжены сами себе. В самом деле, если ? = a, где a - действительное число, то из формул (5) и (8) имеем: ? = a + 0i = a, [pic] = a – 0i = a, т. е. ? = [pic].
Например: комплексному числу 3 + 5i сопряжённым будет 3 – 5i ; комплексному числу 4 - 7i сопряжённым будет 4 + 7i .

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплексными числами.

Если даны два комплексных числа ? = a + bi и ? = c + di, то

? + ? = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

? – ? = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i .

(11)
Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мнимые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – ? = – a – bi называют противоположным числу ? = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - ? + ? = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (- b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой
(6), т. е. тем, что i2 = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)( c
+ di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i .

(12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар действительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами. В самом деле, если ? = a + bi, [pic] = a
– bi, то ?[pic] = (a + bi)( a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , ? + [pic] = ( a
+ bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i = 2a, т.е.

? + [pic] = 2a, ?[pic] = a2 + b2.

(13)

При делении двух комплексных чисел в алгебраической форме следует ожидать, что частное выражается также числом того же вида, т. е. ?/? = u + vi, где u, v [pic] R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа ? = a + bi, ? = c + di, причем ? ? 0, т. е. c2 + d2 ? 0. Последнее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются
(исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и второе из равенств (13), находим:

[pic].

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

[pic], (14)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение бульба, реферат на экологическую тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата