Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

x = [pic] , y = [pic].

Итак, если ?[pic]0, то частное ?/? двух упорядоченных пар ? = (а, b), ? =
(с, d) существует и определяется формулой:

[pic] = [pic].

(4)

Положив в этой формуле ? = ? (т. е. c = a, d = b), найдем, что единицей при умножении упорядоченных пар служит упорядоченная пара (1, 0). Полагая ?
= 1 = (1, 0), из формулы (4) получаем, что при ? [pic] 0 упорядоченной парой, обратной для ?, будет упорядоченная пара

[pic].

Таким образом, построено множество чисел, действия над которыми определяются по формулам (1) - (4). Это множество чисел называют множеством комплексных чисел.

Докажем, что множество комплексных чисел в качестве своего подмножества содержит все действительные числа. Рассмотрим упорядоченные пары вида (a,
0). Каждой паре (a, 0) поставим в соответствие действительное число а, в результате получим взаимно однозначное соответствие между множеством рассматриваемых упорядоченных пар и множеством всех действительных чисел.
Применяя к указанным упорядоченным парам формулы (1) и (2), находим;

(а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0); (а, 0) (b, 0) = (ab, 0).

Эти равенства означают, что упорядоченные пары вида (а, 0) складываются и умножаются так же, как действительные числа. Следовательно, множество указанных упорядоченных пар действительных чисел, рассматриваемое как подмножество множества комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам не отличается от множества действительных чисел. Это позволяет положить

(а, 0) = а,

(5)

т. е. не различать упорядоченную пару (a, 0) действительных чисел и действительное число a. В частности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества комплексных чисел оказываются обычными действительными числами 0 и 1.

Покажем, что среди комплексных чисел содержится корень уравнения х[pic]+
1 = 0. Корнем уравнения х[pic]+ 1 = 0 является такое число, квадрат которого равен действительному числу —1. Это число определяется упорядоченной парой (0, 1). В самом деле, применив формулу (2), получим

(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Обозначим эту упорядоченную пару через i, т. е. i = (0, 1), тогда

i[pic] = - 1, i =
[pic], (6)

число ? называют мнимой единицей.

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1)
= ? — мнимую единицу:

bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), ib = (0,
1)(b, 0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства
(а, b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi.

(8)

Следовательно, комплексное число ? = (a, b) может быть записано в виде a
+ bi = a + ib, где a и b — действительные числа, ? — мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Число a называют действительной, число b — мнимой частью комплексного числа a + bi. Обозначая комплексное число a + bi одной буквой ?, пишут:

a = Re?, b = Im?,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение бульба, реферат на экологическую тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата