Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже
XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): [pic][pic]. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу :
[pic], которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что [pic]. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число [pic] точкой [pic] на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором [pic], идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор [pic] можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом ?, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом [pic], [pic] и число z принимает вид [pic], который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают [pic]. Число [pic] называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если [pic], значение ArgZ не определено, а при [pic] оно определено с точностью до кратного [pic]. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде [pic] (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами [pic]на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании
“гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида [pic], где [pic], построил в 1843 году ирландский математик У.
Гамильтон, который назвал их “кватернионами”.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н.
Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Поняття комплексного числа.

“Подобно тому, как всю область действительных величин можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величин, действительных и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая точка, определенная своей абсциссой а и своей ординатой b, представляет в то же время величину a+ib”.

Гаусс

Рассмотрим множество чисел, каждое из которых определяется упорядоченной парой действительных чисел. Действительные числа будем обозначать буквами а, b, с, ..., а упорядоченные пары действительных чисел — буквами ?, ?, ?,
... и соответственно записывать ?=(a, b), ? =(c, d) и т. д. Такую упорядоченную пару действительных чисел (a,b) назовем комплексным числом.

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой двух упорядоченных пар ?= (а, b) и ? = (с, d) назовем упорядоченную пару ?
= (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(1)

а произведением указанных пар — упорядоченную пару ? = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc).

(2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел определены аксиоматически.

Для этих действий существуют обратные действия — вычитание и деление
(кроме деления на нуль). Разностью ? — ? двух упорядоченных пар ? = (a, b) и ? = (с, d) назовем такую упорядоченную пару (х, y), для которой (с, d) +
(x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем с + х = a, d
+ y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью ? — ? упорядоченных пар ? =
(а, b) и ? = (с, d) является упорядоченная пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d).

(3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для упорядоченной пары ? = (а, b) будет, пара - ? = ( -а, -b), так как ? + (-
?) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным от деления упорядоченной пары ? = (а, b) на упорядоченную пару ?
= (с, d), где ? [pic] 0 или с[pic] + d[pic] [pic] 0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства (2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение бульба, реферат на экологическую тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата