Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

Лемма 5. Пусть [pic] ортогональные собственные векторы оператора Фi
(23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

[pic].
Тогда решение задачи (**) дается равенствами [pic].

Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в Rn. Пусть Pi - ортогонально проецирует в Rn на линейную оболочку [pic] собственных векторов [pic] и
[Pi Фi Pi] - сужение оператора Pi Фi Pi на [pic]. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi Pi]
[pic], где [pic] - j-ое собственное значение оператора [pic] (см., например, [10]). Пусть [pic]. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], [pic], откуда следует утверждаемое в лемме. (

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(() изображениями (17*) имеет вид

[pic],

Где [pic]: ортогональный проектор на линейную оболочку [pic], собственных векторов задачи

[pic].

Невязка наилучшего приближения равна

[pic]. (

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(Ч) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы [pic], и надлежит определить измеримое разбиение [pic] и функции [pic], как решение задачи

[pic] (30)

При любом разбиении [pic]минимум в (30) по [pic] достигается при
[pic], определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

[pic] (31) где точки [pic], в которых выполняется равенство [pic] могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в [pic], либо в [pic]. Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть [pic] заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение

[pic], где ортогональный проектор [pic] определен равенством (25), а [pic] - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна

[pic]. (

Замечание 5. Так как при [pic]

[pic], то условия (31), определяющие разбиение [pic], можно записать в виде

[pic], (32) показывающем, что множество [pic] в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения [pic], не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(() изображениями (17), при котором должны быть найдены [pic] и (i0 , i=1,...,N, такие, что

[pic].

Теорема 7. Для заданного изображения f(() определим множества [pic] равенствами (32), оператор П - равенством (24), [pic] - равенствами (25).
Тогда [pic], определено равенством (32), в котором [pic] - собственный вектор оператора
Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) [pic], наконец, [pic] будет дано равенством (20), в котором [pic], где [pic] - собственный вектор оператора [pic], отвечающий наибольшему собственному значению [pic]; наконец,
[pic]. (

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании
[pic]: Для изображения f(() зададим [pic] и по теореме 5 найдем [pic] и
[pic], затем по теореме 3, используя [pic] найдем [pic] и [pic]. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по [pic] найдем [pic] и [pic] и т.д.
Построенная таким образом последовательность изображений [pic] очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность [pic], k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7, скачать реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата