Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(Ч) на
[pic]. Второе утверждение следует из равенства

[pic], вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств
[pic][pic][pic],i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на x(X. (

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения [pic] ортогональные проекторы [pic] и [pic] определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого [pic], различны для различных [pic], ибо [pic], и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом [pic] и различна для разных [pic],[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор [pic] на выпуклый замкнутый конус [pic] (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор
[pic] на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [pic] [2].
Дело в том, что оператор [pic] определяет форму [pic] изображения (4), а именно
[pic] - множество собственных функций оператора [pic]. Поскольку [pic]f(()
- наилучшее приближение изображения [pic] изображениями из [pic], для любого изображения [pic] из [pic] и только для таких [pic]- [pic]. Поэтому проектор [pic] можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(()
[pic],[7] [2]. И проектор [pic] можно отождествить с формой изображения
(4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами [pic] и [pic], которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если [pic] оператор наилучшего в [pic] приближения злементами выпуклого замкнутого (в [pic] и в [pic]) конуса [pic], то
[pic]. Иначе говоря, для определения наилучшего в [pic] приближения [pic] элементами [pic] можно вначале найти ортогональную проекцию [pic] изображения [pic] на [pic], а затем [pic] спроецировать в [pic] на [pic].
При этом конечномерный проектор [pic] для каждого конкретного конуса [pic] может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

Форма в широком смысле [pic] (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением [pic], последнее, в свою очередь определяется изображением

[pic],

если векторы [pic] попарно различны. Если при этом [pic], то форма в широком смысле [pic] может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на [pic], определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство [pic] (10*) для произвольного изображения [pic].
Пусть [pic] - множество значений [pic] и [pic] - измеримое разбиение X , порожденное [pic], в котором [pic] - подмножество X , в пределах которого изображение [pic] имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором
[pic], если [pic].

Однако для найденного разбиения условие [pic], вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на [pic]. Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение [pic] можно представить в виде предела (в [pic]) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

[pic] (*)

где [pic] - индикатор множества [pic], принадлежащего измеримому разбиению
[pic]

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
- [pic]- C - измеримо, [pic];
- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого [pic], найдется i=i(j),[pic], такое, что [pic];
- минимальная (-алгебра, содержащая все [pic], совпадает с C.

Лемма (*). Пусть [pic] - исчерпывающая последователь-ность разбиений
X и [pic]- то множество из [pic], которое содержит [pic]. Тогда для любой C- измеримой функции [pic]

[pic]

и (-почти для всех [pic] [pic] [ ]. (

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле
П произвольного изображения [pic]. Пусть [pic] - минимальная (-алгебра, относительно которой измеримо [pic], т.е. пусть [pic], где [pic] - прообраз борелевского множества [pic], B - (-алгебра борелевских множеств [pic].
Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на [pic] и выберем эту, зависящую от [pic], исчерпывающую последовательность ([pic] - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть [pic], [pic]- исчерпывающая последовательность разбиений X, причем [pic]- минимальная (-алгебра, содержащая все [pic] и
П(N) - ортогональный проектор [pic], определенный равенством [pic], [pic]

Тогда
1) для любого [pic]-измеримого изображения [pic] и почти для всех [pic],
[pic],
2) для любого изображения [pic] при [pic] [pic] (в [pic]), где П - ортогональный проектор на [pic].

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы
(*) и определения [pic]. Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: [pic] и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как [pic] - множество всех [pic]-измеримых изображений и их пределов (в
[pic]), а в силу леммы (*) для любого [pic]-измеримого изображения [pic]
[pic], то для любого изображения [pic] [pic]и для любого [pic] [pic], ибо
[pic]-измеримо, N=1,2,... (

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение [pic], на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(Ч), в которой задано не разбиение [pic] поля зрения X, а векторы [pic] в
[pic], и требуется построить измеримое разбиение [pic]поля зрения, такое, что цветное изображение [pic] - наилучшая в [pic] аппроксимация f(Ч). Так как

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7, скачать реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата