Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Запишем изображение (5) в виде

[pic] (17)

где [pic].

Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X, [pic] - индикаторная функция
Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в [pic] приближения изображения
[pic] изображениями (17), не требуя, чтобы [pic]

[pic] (18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения [pic] изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из [pic], в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).

Так как

[pic] то минимум S (19) по [pic] достигается при

[pic], (20)

и равен

[pic] (21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

[pic]. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор [pic]

[pic] . (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы [pic] на сфере [pic]в
Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению [pic]>0,

[pic], и равен [pic], т.е. [pic]. Следовательно, максимум в (22) равен [pic] и достигается, например, при [pic]

Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения
[pic][pic] изображениями g(()[pic] (17) является изображение

[pic] (24)

Операторы [pic],i=1,...,N, и [pic] - нелинейные (зависящие от f(()[pic]) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы [pic][pic] на линейное подпространство [pic], натянутое на собственный вектор [pic] оператора Фi
(23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,

[pic]; (25)

П проецирует в [pic] изображение [pic][pic] на минимальное линейное подпространство [pic], содержащее все изображения [pic]
Невязка наилучшего приближения

[pic] (19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из
(17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23).
Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(():

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7, скачать реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата