Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic][pic], (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки [pic], для которых [pic],
[pic]=1,2,...,q, или, что то же самое, [pic][pic]=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

[pic] [pic] , (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и [pic].

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение [pic], в котором

[pic] (15) и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из [pic] в [pic] по формуле [pic], [pic], i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения
[pic] и [pic], i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

Теорема 2. Пусть [pic] - заданные векторы Rn. Решение задачи

[pic] наилучшего в [pic] приближения изображения f(Ч) изображениями [pic] имеет вид [pic], где [pic] - индикаторная функция множества [pic]. Множество
[pic] определено равенством (15). Нелинейный оператор [pic], как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа [pic], i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию [pic], то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

[pic]

где [pic], и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: [pic], i=1,...,q. Тогда

[pic]. (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение [pic] изображения f(Ч) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например
[pic]), в частности, относительно образования теней на f(Ч).

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов
[pic] оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения [pic] соответственно на измеримых множествах [pic]
(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в
[pic]) точкой F: [pic], если [pic], все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из [pic] - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения [pic] является множество всех изображений, принимающих заданные значения [pic] на множествах положительной меры [pic] любого разбиения X, и их пределов в
[pic].

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(() изображениями [pic], в котором требуется определить как векторы [pic], так и множества [pic] так, чтобы

[pic].

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), [pic], где [pic]. Тогда необходимые и достаточные условия
[pic] суть следующие: [pic], где [pic], [pic].

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть [pic] - исходные векторы в задаче (14*), [pic] - соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего приближения и [pic] - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения [pic] оптимальные векторы [pic]. Согласно выражению
(13) [pic], и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение f((), чем F(1): [pic]. Выберем теперь в теореме 2 [pic], определим соответствующее оптимальное разбиение [pic] и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда [pic]. На следующем шаге по разбиению [pic] строим [pic] и оператор П(3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего [pic]-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции
[pic]. Выберем произвольно попарно различные векторы [pic]из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn [pic]. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества [pic], j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями [pic] множеств из [pic].
Последовательность соответствующих разбиений X [pic], i=1,...,N(q), q=1,2... [pic] -измеримы и [pic] является продолжением [pic]

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения [pic] поля зрения X.

Задано разбиение [pic], требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение 7, скачать реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата