Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1] оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям[2] и оказались достаточно эффективными, [5-11].

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями [pic] j=1,2,...,n, где l(0,()
- длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e(l)0, l((0,(), далее называемой излучением, образуют вектор [pic], w(Ч)=[pic]. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов [pic], l((0,(), и соответствующий суммарный сигнал [pic] назовем яркостью излучения e(Ч). Вектор [pic] назовем цветом излучения e(Ч). Если [pic] цвет e(Ч) и само излучение назовем черным.
Поскольку равенства [pic] и [pic] эквивалентны, равенство [pic] имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае [pic] - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(Ч) назовем белым и его цвет обозначим [pic] если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

[pic].
Векторы [pic] , и [pic] , [pic], удобно считать элементами n-мерного линейного пространства [pic]. Векторы fe, соответствующие различным излучениям e(Ч), содержатся в конусе [pic][pic]. Концы векторов [pic] содержатся в множестве [pic], где П - гиперплоскость [pic].

Далее предполагается, что всякое излучение [pic] , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями [pic] все их выпуклые комбинации (смеси) [pic] Поэтому векторы [pic] в [pic] образуют выпуклый конус [pic], а векторы [pic].

Если [pic]то и их аддитивная смесь [pic]. Для нее

[pic] [pic] [pic]. (1)
Отсюда следует

Лемма 1. Яркость fe и цвет (e любой аддитивной смеси e(Ч) излучений e1((),...,em((), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

Подчеркнем, что равенство [pic], означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(Ч) и [pic], как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(Ч) на
[pic] в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

Далее предполагается, что вектор w(Ч) таков, что в E можно указать базовые излучения [pic], для которых векторы [pic], j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными, [pic], j=1,...,n. В таком случае излучение [pic] характеризуется лишь цветом [pic], j=1,...,n.

Для всякого излучения e(Ч) можно записать разложение

[pic], (1*)

в котором [pic] - координаты [pic] в базисе [pic], или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - [pic], где [pic],
[pic], - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению (j((), i, j=1,...,n. Матрица [pic] - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений [pic] неотрицательны и [pic], j=1,...,n. При этом яркость [pic] и вектор цвета [pic], [pic], j=1,...,n,
(конец которого лежит в П) определяются координатами (j и цветами излучений
[pic], j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(Ч).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: [pic].

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых (j0: [pic]. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в [pic] скалярное произведение [pic] и векторы [pic], биортогонально сопряженные с [pic]: [pic], i,j=1,...,n.

Лемма 2. В разложении (1*) [pic], j=1,...,n, [pic]. Яркость [pic], где [pic], причем вектор y ортогонален гиперплоскости П, так как [pic], i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения [pic], то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов [pic] были координатами fe в некотором ортонормированном базисе [pic]. В этом базисе конус [pic].
Заметим, что для любых векторов [pic] и, тем более, для [pic], [pic][4].

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости
R2, или на сетке [pic], [pic] спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке [pic] [pic]; [pic] - излучение, попадающее в точку [pic]. Изображением назовем векторнозначную функцию
[pic]