Быков В.В. bikov@rambler.ru

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………3

§1. Предварительные сведения……………………………………5

§2. Основные факты………………………………………………………………8

§3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18

Использованная литература…………………………………………27

Введение

Тема дипломной работы “Теорема Штурма”, связана с именем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение:
Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом
Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором
Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829.
Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе
1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему
Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр
Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :

-(p(t)u()(+q(t)u=(u, удовлетворяющих граничным условиям вида:

А1u(a)+B1u((a)=0,

A2u(b)+B2u((b)=0,
(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений параметра ( (собственных значений), при которых существуют такие решения.
При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида:
-u((+q(x)u=(u).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph
Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом
Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше).

Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.

Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.

§ 1. Предварительные сведения

Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, имеющее вид u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1) или

(р (t) и')' + q (f) и = h(t). (1.2)
Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции (t), g (f), h (f) и р (f) ?0, q (t), входящие в эти уравнения, являются непрерывными (вещественными или комплексными) на некотором t-интервале J, который может быть как ограниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предполагается, что р(t)? 0, скоро станет ясной.

Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде

(p(t) и')' + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3) если определить p(t) следующим образом: