Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

[pic] (1.4)

при некотором a?J. Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2) можно записать в виде

[pic], а это уравнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора [pic]:

[pic], [pic]. (1.5)
Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) ? 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.)
Частному случаю уравнения (1.2) при [pic] соответствует уравнение и" + q(t) u = h(t). (1.6)
Если функция [pic] принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

[pic], т.е. [pic] (1.7)

при некотором a ? J. Функция s = s (t) имеет производную [pic] и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную t= t
(s), определенную на некотором s-интервале. После введения новой независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение

[pic] (1.8)

где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f)должен быть заменен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).
Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z:

[pic] (1.9) при некотором a ? J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению

[pic] (1.10) которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

§ 2. Основные факты

Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений

[pic] (2.1)

[pic] (2.2)
Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений

[pic] (2.3)

[pic] (2.4)

где векторы х= (х1, х2), у == (у1, y2) совпадают с векторами [pic], [pic],
A(t)- матрица второго порядка:

[pic] (2.5)
Если не оговорено противное, то предполагается, что [pic], q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными комплексными функциями на t- интервале J (который может быть замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).

(i) Если [pic] и [pic], [pic] - произвольные комплексные числа, то задача
Коши для уравнения (2.2)

[pic], [pic] (2.6) имеет единственное решение, существующее при всех [pic][pic], см. лемму IV.
1.1.

(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при [pic] соответствующим единственным решением служит функция [pic]. Поэтому, если [pic] есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.

(iii) Принцип суперпозиции. Если [pic], [pic]-решения уравнения (2.1), a
[pic], [pic]-постоянные, то функция [pic] является решением уравнения
(2.1). Если [pic]-решение уравнения (2.2), то функция [pic] также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция [pic] удовлетворяет уравнению (2.1).

(iv) Если [pic], [pic]-решения уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы (2.3) [pic], [pic] линейно независимы (в каждой точке t) тогда и только тогда, когда функции [pic], [pic] линейно

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные контрольные, контрольные 2 класс 2 четверть.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата