Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

[pic].

Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции [pic] в некоторой точке [pic], мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно дифференцируемую функцию [pic]. Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему

[pic] , (2.43)

[pic] (2.44)
В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций [pic]. Если решение [pic] уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений
(2.1) и (2.43).

Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция [pic] непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства

[pic] (2.45)

при фиксированном значении [pic] для некоторого [pic] однозначно определяют непрерывные функции [pic], имеющие локально ограниченную вариацию и

[pic]

Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана -
Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая [pic], мы получаем q/[pic], а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства

[pic][pic] (2.48)

[pic] (2.49)

[pic]. (2.50)

§ 3. Теоремы Штурма

В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, нетривиальное (т. е. [pic]) решение». Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку [pic] тогда и только тогда, когда [pic].

Лемма 3.1. Пусть [pic] - вещественное решение уравнения (2.1) при [pic], где [pic] и [pic] вещественны и непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности [pic] нулей [pic] при [pic]. Предположим, что [pic] - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и [pic] . Тогда [pic]и [pic] при
[pic] .

Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где [pic], производная [pic] в силу (2.43). Следовательно, функция [pic] возрастает в окрестности точек, где [pic] для некоторого целого j. Отсюда следует, что если [pic] и [pic], то [pic] при [pic], а также что если [pic], то [pic] при [pic]. Тем самым лемма доказана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения

[pic] [pic] где функции [pic] вещественны и непрерывны на интервале J. и

[pic] . (3.2)
В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

[pic] (3.32) или

[pic] и [pic] (3.31) выполняются в некоторой точке [pic], то уравнение (3.32) называется строгой мажорантой Штурма для (3.31) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения [pic] непрерывны на интервале J: [pic], и пусть уравнение (3.32) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция [pic] является решением уравнения (3.11) и имеет точно [pic] нулей [pic] при
[pic] ,а функция [pic] удовлетворяет уравнению (3.12) и

[pic] (3.4) при [pic]. [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства
(3.4) при [pic] полагается равным [pic], если [pic] (соответственно если
[pic]); в частности, соотношение (3.4) справедливо при [pic], если [pic].]
Тогда [pic] имеет при [pic] пo крайней мере n нулей. Более того, [pic] имеет по крайней мере n нулей при [pic], если при [pic] в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой
Штурма для (3.11) при [pic].

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при [pic] пару непрерывных функций [pic] с помощью соотношений

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные контрольные, контрольные 2 класс 2 четверть.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата