Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

независимы в том смысле, что равенство [pic], где [pic] и [pic]- постоянные, влечет за собой [pic].

(v) Если [pic], [pic] - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W
(t) = W (t; и, v) выполняется тождество

[pic]. (2.7)
Поскольку матричным решением системы (2.3) является

[pic], detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.
(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

[pic], [pic], (2.8) где f=f(t), g=g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

[pic] , (2.9) так как [pic]. Соотношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

[pic] (2.10) где [pic], называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) [pic]. В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией [pic] функций и(t) и v(t) с постоянными коэффициентами.

(viii) Если [pic] (например, [pic]), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение [pic] уравнения (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если [pic] на подинтервале [pic], этим уравнением служит уравнение (2.7), где и - известная функция, а v - искомая. Если поделить (2.7) на [pic], то это уравнение запишется в виде

[pic], (2.11)

а после интегрирования мы будем иметь

[pic], (2.12) где а, [pic]. Легко проверить, что если [pic],[pic] - произвольные постоянные и а, [pic], то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где [pic] .

(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с [pic]. При фиксированном [pic] решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является [pic]. Поэтому решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям [pic], служит функция

[pic]; (2.13)
(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения [pic] уравнения (2.1), что дает

[pic]. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

[pic], [pic], [pic]

мы получаем из (2.14) частное решение

[pic].(2.15)

Оно может быть записано в виде

[pic], (2.16) где

[pic] (2.17)

матрица С (t) зависит от [pic], но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

[pic]. (2.28)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные контрольные, контрольные 2 класс 2 четверть.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата