Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

[pic] (3.5)
Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

[pic] (3.6j)

Поскольку непрерывные функции [pic], гладким образом зависят от [pic], решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями.
Из (3.2) следует, что [pic] при [pic] и всех [pic]. Поэтому последняя часть
(3.5) и следствие III.4.2 означают, что
[pic] для [pic]В частности, из [pic] следует, что [pic], и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при
[pic] в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда [pic]. Обозначим через
[pic] решение уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию [pic], так что [pic]. Поскольку решение уравнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями, [pic] при [pic]. Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что [pic] потому [pic]. Следовательно, [pic] имеет n нулей при
[pic].

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из [pic] выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем
(3.62) в виде

[pic], где

[pic]
Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что [pic] при [pic].Поэтому [pic] и [pic]при [pic]. Так как [pic] только в нулях функции [pic], то отсюда следует, что [pic] при [pic] и
[pic].
Следовательно, если [pic] при некотором t, то [pic], т. е. [pic]. Если
(3.31) не выполняется ни при каком t из отрезка [pic], то при некотором t имеет место (3.32), и потому (3.32) справедливо на некотором подинтервале из [pic]. Но тогда на этом интервале [pic] и потому [pic]. Однако это противоречит условию [pic]. Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J, и пусть [pic] - вещественные решения уравнений, (3.3j). Пусть [pic] обращается в нуль в двух точках [pic] интервала J. Тогда [pic] имеет по крайней мере один нуль на [pic]. В частности, если [pic] и [pic]вещественные линейно независимые решения уравнения (3.11)[pic] (3.12). То нули функции [pic] разделяют нули функции [pic] и разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций [pic] и [pic] не имеют на J предельных точек. Кроме того,
[pic], [pic] не могут иметь общего нуля [pic], так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.11) единственны, [pic], где [pic] (так что [pic] и [pic] не являются линейно независимыми).

Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p1(t)(p2(t)>0, q2(t)(q1(t).)

Предположим, что u1(t)>0 при t10 при t10 чего быть не может.

Решение:

(p1(t)u()(+q1(t)u=0, u=u1

(p1(t)u1()(+q1(t)u1=0.

Умножим левую часть равенства на u2, получим: u2(p1(t)u1()(+q1(t)u1u2=0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:

(p2(t)u()(+q2(t)u=0, u2=u

(p2(t)u2()(+q2(t)u2=0.

Умножим левую часть равенства на u1, получим: u1(p2(t)u2()(+q2(t)u1u2=0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получим: u2(p1u1()(+q1u1u2-u1(p2u2()(-q2u1u2=0, p=p1=p2 u2(pu1()(+q1u1u2-u1(pu2()(-q2u1u2=0

(u2(pu1()(-u1(pu2()()+u1u2(q1-q2)=0

Упростим это уравнение, u2(p(u1(+pu1(()-u1(p(u2(+pu2(()+u1u2(q1-q2)=0

Раскроем скобки, получим: p(u1(u2+ pu1((u2- p(u1u2(-pu1u2((+u1u2(q1-q2)=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u1(u2-u1u2())(+u1u2(q1-q2)=0

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные контрольные, контрольные 2 класс 2 четверть.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата