Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

(xii) Если известно частное решение [pic] уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение [pic] на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что

[pic]. (2.29)
Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению
[pic].

Умножая его на [pic], мы получаем, что

[pic] (2.30) или, в силу (2.27), что

[pic], (2.31) т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения [pic] дифференциального уравнения (2.27), а с функции [pic], имеющей непрерывную производную [pic] и такой, что [pic] непрерывно дифференцируема. При этом [pic] определяется равенством (2.27), так что [pic] . Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.

(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим
(2.1) с р (t) = 1: и" + q (t) и = 0. (2.32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

[pic]. (2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где [pic], т. е. к уравнению

[pic] (2.35)

Замена независимых переменных [pic], определенная соотношением

[pic], (2.36)

переводит (2.35) в уравнение

[pic] (2.37) где

[pic] (2.38)

а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см.
(1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по t, так что q' = dqldt.

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).

(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод.
Пусть

[pic], (2.39)

так что [pic]. Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

[pic]. (2.40)
Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида [pic], где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале [pic], то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обратно, если [pic] - решение уравнения (2.40) на t-интервале [pic], то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

[pic] (2.41) уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.

(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование .
Пусть [pic]-вещественное решение уравнения 2.1, и пусть

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные контрольные, контрольные 2 класс 2 четверть.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата