О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях

Д. Фукс

Сколько раз каждому из вас доводилось раскрывать скобки в произведении? Тысячи, а может быть, десятки тысяч? Если и есть в этом занятии что-нибудь привлекательное, так это надежда, что результат умножения, после приведения подобных членов, примет благоприятный вид, как, скажем,

(a + b)(a – b) = a2 – b2,

(1 – a)(1 + a + ... + an ) = 1 – an+1.

Ниже пойдёт речь о подобных равенствах, только гораздо менее очевидных и гораздо более глубоких. Они составляют результат более чем двухсотлетней работы крупнейших математиков мира. Своим читателям я посоветую вооружиться ручкой и бумагой и повторять за мной все выкладки: это поможет не только понять содержание статьи, но и оценить степень нетривиальности её результатов.

1. Тождество Эйлера

В середине XVIII века – дело было в 1748 году или несколькими годами раньше – Леонард Эйлер заинтересовался коэффициентами многочлена

φn(x) = (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – xn).

Он раскрыл скобки в произведении – и получил поразительный результат. Проделаем эту выкладку и мы: