Числа p(n) входят во многие математические формулы, и их полезно уметь вычислять. Но как это сделать? Попробуйте, например, найти p(10). Вам придется изрядно повозиться, и, если повезёт, вы найдете правильный ответ: 42. А если нужно знать, скажем, p(50)? На помощь приходит тождество Эйлера. Сначала немного «теории». Положим π(x) = 1 + p(1)x + p(2)x2 + p(3)x3 + ... = 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + ... Как и φ(x), π(x) – функция, определённая при –1 < x < 1. Но, опять-таки, нас она интересует только как степенной ряд. Теорема. Ряды φ(x) и π(x), взаимно обратны, то есть φ(x) · π(x) = 1. Вы понимаете, в чем смысл этого равенства? Степенные ряды можно перемножать:
наше утверждение означает, что если перемножить таким образом ряды φ(x) и π(x), то полученное произведение сведётся к 1: коэффициенты при x, x2, x3 ... будут равны нулю. Доказательство.
|
Главная