Легко
угадать, что это за показатели: в n-м столбце нашей таблицы в верхней строке
стоят числа ½(3n2 – n), в нижней – число (–1)n. Если это так при всех n, мы приходим к равенству
|
(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)... = 1 – x – x2 + x5 + x7 – ... +
|
|
+ (–1)n x½(3n² – n) + (–1)n x½(3n² + n) + ...
|
или, пользуясь принятой в математике сокращённой символикой,
|
∞
|
|
∞
|
|
|
∏
|
(1 – xn) = 1 +
|
∑
|
(–1)n ( x½(3n² – n) + x½(3n² + n) ).
|
|
n=1
|
|
n=1
|
|
Это
и есть тождество Эйлера. Последующие поколения математиков дали этому тождеству
несколько доказательств. Одно из них приводится в п. 3. (Читатель, который
больше интересуется фактами, чем доказательствами, без ущерба для понимания
дальнейшего может этот параграф пропустить.) А сейчас я расскажу об одном
замечательном применении тождества Эйлера, которое украшает все учебники
комбинаторики.
2.
Тождество Эйлера и число разбиений
Пусть
n – натуральное число. Обозначим через p(n) число способов, которыми можно
представить n в виде суммы натуральных слагаемых (при этом слагаемые в суммах
могут повторяться, и представления, различающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми). Например:
|
p(1) = 1;
|
|
|
p(2) = 2
|
(2 = 2; 2 = 1 + 1);
|
|
p(3) = 3
|
(3 = 3; 3 = 2 + 1; 3 = 1 + 1 + 1);
|
|
p(4) = 5
|
(4; 3 + 1; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1);
|
|
p(5) = 7
|
(5; 4 + 1; 3 + 2; 3 + 1 + 1; 2 + 2 + 1;
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: заключение реферата, защита дипломной работы.
Предыдущая страница реферата | 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 | Следующая страница реферата
|
|
Главная