φ(x)
называется функцией Эйлера.
Слово
«функция» здесь употреблено не случайно: при –1 < x < 1 значения
φ(x) можно вычислить (подобно тому, как вычисляют сумму бесконечной
геометрической прогрессии).
Теперь
– главное. После раскрытия наших скобок очень многое уничтожается, можно
сказать – почти всё. Например, результат раскрытия скобок в произведении (1 –
x)(1 – x2 )...(1 – x10 ) содержит до приведения подобных 43 слагаемых с x в
степенях, меньших или равных 10, в том числе 24 слагаемых с x в степенях 8, 9, 10. После приведения подобных из этих 43 слагаемых остаётся всего 5, в том
числе ни одного с x в степенях 8, 9, 10. Более точно, как мы видели, среди
коэффициентов a0, a1, a2, ..., a10 три равны 1, два равны –1 и шесть равны 0.
Выскажем осторожную гипотезу: коэффициенты ak всегда равны 0, 1 или –1, причём
большинство из них равно 0. Дальнейшее вычисление, которое читатель при желании
сможет провести сам, не только подтверждает эту гипотезу, но и позволяет её
уточнить. Вот, например, часть ряда φ(x), содержащая x в степенях, не превосходящих
100:
|
φ(x) = 1 – x – x2 + x5 + x7
|
– x12 – x15 + x22 + x26 –
|
|
|
– x35 – x40 + x51 + x57 – x70 – x77 + x92 + x100...
|
Надо
полагать, что Эйлер, который не боялся длинных выкладок и отменно считал, примерно столько членов ряда φ(x) и вычислил. А потом он просто не мог не
заметить, что коэффициенты, отличные от 0, равны 1 или –1, и при этом единицы и
минус единицы расположены не как попало, а в строго определённом порядке: две
единицы, две минус единицы, две единицы, две минус единицы и т.д. (Мемуар
Эйлера на эту тему полностью приведён в книге Д.Пойа «Математика и
правдоподобные рассуждения» (М., «Наука», 1975, с.111). Чтение этого мемуара, как и других глав книги Пойа, несомненно, доставит вам большое удовольствие.) В
таблице выписаны показатели степеней x, при которых стоят ненулевые
коэффициенты.
Главная