|
(1) |
Рамануджан открыл ряд замечательных арифметических свойств τ(n).
Доказательство и обобщение этих свойств Морделлом, Гекке и другими сыграли важную роль в развитии модулярных форм. Но сами τ-функции по-прежнему оставались тихой заводью, далёкой от основного русла математики, где дилетанты могли плескаться в своё удовольствие, не тревожимые конкуренцией с профессионалами. Уже став физиком, много лет спустя, я сохранил сентиментальную привязанность к τ-функции и отдыхал от такого серьёзного дела, как физика, время от времени возвращаясь к работам Рамануджана и размышляя над многими увлекательными проблемами, которые он оставил нерешёнными. Четыре года тому назад (статья Дайсона написана в 1972 году – Д. Ф.), во время такого отдыха от физики, я нашёл новую формулу для τ-функции, столь красивую, что просто поразительно, как сам Рамануджан не додумался до неё. Выглядит она так:
|
(2) |
Суммирование ведётся по всем пятёркам целых чисел a, b, c, d, e, имеющих при делении на 5, соответственно, остатки 1, 2, 3, 4, 0 и таких, что a + b + c + d + e = 0, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 10n. Пользуясь (1), можно записать эту формулу в виде выражения для φ24(x) (сравните с приведённым выше выражением для φ8(x) – Д. Ф.).
Я пришёл к ней под влиянием письма Винквиста, получившего похожее выражение для φ10(x).
Продолжая своим доморощенным способом исследования этих тождеств, я обнаружил существование столь же красивой формулы, как (2), для n-х степеней φ в тех случаях, когда n принадлежит следующей последовательности целых чисел:
|
n = 3, 8, 10, 14, 15, 21, 24, 26, 28, 35, 36... |
(3) |
(вот они, «избранные показатели»! – Д. Ф.). На этом я остановился. Довольно недолго я разглядывал странную последовательность (3). Будучи в то время теоретиком-числовиком, я ничего в ней не увидел. Перегородки в сознании помешали мне заметить, что я неоднократно встречал эти числа в качестве физика. Попадись они мне на глаза в контексте какой-нибудь физической задачи, я бы, наверное, узнал в них размерности конечномерных простых алгебр Ли, если не считать число 26. Почему сюда попало 26 не знаю до сих пор».
Простите, я забыл, что вы не знаете, что такое простые алгебры Ли. Это неважно. Я постараюсь объяснить вам, что такое числа (3). Вспомните, что вращения плоскости вокруг фиксированной точки зависят от одного параметра – угла поворота. Вращения трёхмерного пространства зависят от трёх параметров – широты и долготы оси вращения и угла поворота. Вообще, «вращения» n-мерного пространства зависят от ½n(n – 1) параметров, а «вращения» n-мерного «комплексного пространства» – от n2 – 1 параметров. К числам ½n(n – 1) и n2 – 1 (то есть 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... и 3, 8, 15, 24, 35, ...) нужно присоединить пять «особых размерностей» 14, 52, 78, 133 и 248. Если ещё выбросить, как это и делает Дайсон, числа 1 и 6, получится последовательность (3), которую, конечно, твёрдо помнит любой физик-теоретик.
«Так я упустил возможность заметить глубокую связь между модулярными формами и алгебрами Ли только потому, что Дайсон теоретик-числовик не поговорил с Дайсоном физиком.
У этой истории счастливый конец. Неизвестный мне в то время английский математик Ян Макдональд получил эти же формулы, как частный случай более общей теории. Алгебры Ли входили в его теорию с самого начала, а связь с модулярными формами появилась нежданно-негаданно. Так или иначе, Макдональд выявил эту связь и использовал возможность, которую я упустил. Выяснилось также, что Макдональд находился в Институте высших исследований в Принстоне, когда мы оба работали над этой проблемой. Поскольку наши дочери учились в одном классе, мы виделись время от времени в течение всего его годичного пребывания в Принстоне. Но так как он был математиком, а я физиком, мы не говорили о своей работе. То, что мы думали над одним и тем же вопросом, находясь столь близко друг от друга, выяснилось лишь по его возвращении в Оксфорд. Вот упущенная возможность, но не столь драматичная, поскольку Макдональд прекрасно во всём разобрался и без моей помощи».
7. Заключение
Изложенная здесь теория совсем не ограничивается вычислением степеней функции Эйлера: имеется большое количество замечательных формул, в левой части которых стоят бесконечные произведения иного типа. Я надеюсь, что когда-нибудь вы пожелаете познакомиться с этим предметом более серьёзно. Напоследок я покажу вам ещё два тождества, которые Гаусс доказал одновременно с тождеством из п. 4:
|
(1 – x)2(1 – x2)(1 – x3)2(1 – x4)(1 – x5)2(1 – x6)... = 1 – 2x + 2x4 – 2x9 + 2x16 – 2x25..., |
|
(1 – x2)(1 – x4)(1 – x6)(1 – x8)... (1 – x)(1 – x3)(1 – x5)(1 – x7)... Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: заключение реферата, защита дипломной работы. Категории:Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладки |
|
| Разрешается частичное копирование контента в виде анонса при условии размещения прямой ссылки на источник. | © 2006-2024 «Claw.RU» © 2006-2024 «Рефератики.РФ» |
Главная