Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

§1. О задачах Дирихле.

а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона

(классическая формулировка).

1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача формулируется следующим образом.

Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области D+ функцию U(z), принимающую на границе значения f([pic]). Таким образом, требуется, чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+ стремится к [pic][pic][pic], u(z) > f([pic]), при z > [pic].

Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал установившегося движения несжимаемой жидкости, температура, электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными функциями.

Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на контуре.

Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее нормальной производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.

Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на некоторых дугах границы [pic] и значениям нормальной производной на остальной части [pic].

Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В. [1].

Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской задачей, которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так и по большей разработанности и эффективности методов решения.

2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений уравнения Лапласа

[pic], (1) которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области.

Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:

Найти гармоническую в области D и непрерывную в [pic] функцию u(z), которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).

К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.

б) Обобщенная задача Дирихле.

В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле
[1]:

На границе [pic] области D задана функция [pic], непрерывная всюду, кроме конечного числа точек [pic], где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z), принимающую значения u(z) = [pic] во всех точках непрерывности этой функции.

Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из условия ее непрерывности в [pic].

Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:

В данной области при заданной граничной функции [pic] существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.

Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле.

Можно доказать, что:
1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата