Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Дирихле существует.
2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона

[pic] , [pic], [pic]) (2)
3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:

[pic] , (3)

где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С, ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic],

[pic] - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная произвольная точка области D, а функция [pic]; [pic], реализующая отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция Грина для области D, гармоническую всюду в D кроме точки [pic], где имеет плюс.

Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

в) Видоизмененная задача Дирихле.

Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно, внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].

Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве

[pic] , (4) где A и [pic] - положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а [pic] - показатель условия Н и при [pic]=1 – условие

Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.

г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].

Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по граничному условию u=f(t) на L,

(5) где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.

Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд.

[pic], [pic]) абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic] поэтому u>[pic] при r>[pic].

Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].

Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле для многосвязных областей.

Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по следующим условиям:

1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;

2. она удовлетворяет граничному условию u=f(t)+[pic](t) на L,

(6) где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic], [pic],

(7) где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.

Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата