Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая: а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic]; б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic].

Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать

[pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.

Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если

[pic]=0).

д) Общая формулировка задачи Дирихле.

Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также называется задачей

Дирихле, или первой краевой задачей.

Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой

[pic], (8) где [pic] - производная по направлению внутренней нормали в точке

[pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами:

1. [pic], при [pic] 3 или

[pic], при [pic] 2, где [pic] - расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] - площадь единичной сферы в [pic], [pic] - регулярная в [pic] гармоническая функция как относительно координат [pic], так и относительно координат [pic];

2. [pic], когда [pic], [pic].

Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул Пуассона.

Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории гармонических функций.

Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона

[pic], (9) являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] - гармоническая мера множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме.

Например, если [pic] - область [pic] с достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения.

е) Задача Неймана.

Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:

Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее нормальной производной на границе С:

[pic] (10) и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic].

Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.

Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата