Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

а) Интеграл Шварца для круга

Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат, дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через значения [pic] на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:

[pic] , ([pic], [pic]) (18)

Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто вещественное значение
[pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.

Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное мнимое число [pic]:

[pic], [pic]. (19)

Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная

[pic]

часть даст нам интеграл Пуассона для [pic] и мнимая же часть доставляет выражение [pic] через [pic].

Для единичного круга [pic], имеет вид:

[pic], (20)

где [pic], [pic] - представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic].

б) Интегральная формула Пуассона.

Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона:

[pic], (21) где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic] - радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic], дающая граничные значения [pic] [9].

Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что

[pic],

([pic], [pic])

Поэтому [pic] представима рядом:

[pic]

[pic] (22) где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]:

[pic]; [pic]; [pic]

В центре окружности при [pic] мы получаем:

[pic] (23)

Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой окружности.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата