Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Граничные значения гармонической функции [pic] на окружности кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].

Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет вообще говоря, не однозначной, и фкп [pic] будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:

[pic], [pic]. (29)

Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.

Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3].

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912).

Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо

[pic], ограниченное окружностями

[pic], [pic], где заданное положительное число [pic]0.

Если [pic], то [pic] и [pic] - две интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей.

Если [pic], то

[pic]

[pic], где [pic], [pic] (Шварц, 1869),

[pic], [pic] (Вилля, 1921), (96)

[pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972),

Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а реальные и мнимые части от функции [pic] - интегральными формулами типа
Пуассона.

Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4].

Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic]
- правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для рассмотренных областей).

Замечание 1. Так как заданные функции [pic] - являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного решения соответствующих граничных задач.

Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели только задачу Дирихле.

Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями задачи:

Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения

[pic], (97) удовлетворяющие на границе [pic] условию

[pic], (98) где [pic] - производная по некоторому направлению, а [pic] - заданные непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и

1. при [pic], [pic] - задача Дирихле;

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата