Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: инновационный менеджмент, правовые рефераты
| Добавил(а) на сайт: Текуса.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | Следующая страница реферата
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности [pic] и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
[pic], [pic] ([pic]).
Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic], гармоническая вне окружности [pic], перейдет в функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его границе
значения
[pic].
По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:
[pic].
Если в этом равенстве подставить вместо [pic] и [pic] их выражения через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic], то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
[pic], (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается
от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду
(22), представляющей ее вне окружности:
[pic]. (25)
Если в (25) [pic]([pic], то получим теорему Гаусса для внешности окружности:
[pic],
(26) т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее арифметическое значений на граничной окружности.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга [pic] плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции
[pic]
Граничные значения на окружности [pic] перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]:
[pic], ([pic]) (27)
При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования не [pic], а угол [pic], который образует прямая [pic] с перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic], имеем:
[pic], [pic] и окончательно имеем:
[pic]. (28)
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | Следующая страница реферата
Главная