Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата

Приведённый пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.

2 От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда были предприняты в XVII в. одним из первых видных учёных, стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов, был Иоганн Кеплер.

1612 г. был для жителей австрийского города Линца, в котором жил тогда
Кеплер, исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объёмы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался
Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615 г.

Кеплер вычислил площади плоских фигур и поверхностей и объёмы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объём которой ему известен.

Методы Кеплера в определении объёмов тел вращения, были нестрогими.
Многие учёные посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприятия. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых, изобретённая Кавальери. Делом его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математики, был метод неделимых.

Метод неделимых изобретён для определения размеров плоских фигур и тел.

Как фигуры, так и тела представляются составленными их элементов, имеющих размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведённых параллельно некой направляющей прямой, называемой регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными, параллельными регуле. В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой плоскости. Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две касательные плоскости, параллельные регуле.

Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие определённого интеграла. Совокупность геометрии неделимых можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объёмов тел) равно этому отношению.

Эти утверждения практически эквивалентны современным умозаключениям типа: даны две фигуры, ограниченные осью х, прямыми х = а и х = в и соответственно у1 = f1(х) и у2 = f2(х). (рис 7).

Отношение площадей

S1/S2 = ( у1k / ( у2k = f1(х)dх / f2(х)dх

Если у1k / у2k = а = const, для любого k, то и S1/S2 = k.

Кавальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в результате проведения диагонали (рис. 8).

Введём для краткости обозначения: АС = а, RT = x, TV = y, RS = а/2 = в,
ST = z. Тогда х = в + z, у = в – z и сумма квадратов частей неделимых х2 + у2 = 2в2 + 2z2.

Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов неделимых символом [
]:

[AEC] + [CGE] = 2[ABFE] + 2[BCM] + 2[FEM].

Заметим, что

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = 1/4[ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8[ACE], что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно, [ACE] = 1/4[ACGE] + 1/8[ACE] +
1/8[ACE]; [ACE] = 1/3[ACGE].

В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что х2dх = 1/3 а2dх или иначе: lim [(а/п)2 (12 + 22 + … + п2)]/па2 =

= lim ( k2/п3 = 1/3.

Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более высоких степеней неделимых, вплоть до девятой, решив таким образом группу задач, эквивалентных вычислению определённых интегралов вида: хпdх , для п = 1, …, 9.

3 Теорема Паскаля.

Среди последователей Кавальери самыми видными учёными, подготавливавшими создание интегрального и дифференциального исчисления, были Дж.Валлик, П.Ферма, Б.Паскаль.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата