Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

Таким образом,

( f(х)dх) / (в – а) = f(с) или f(х)dх = (в – а)f(с)

2.9. Геометрический смысл определённого интеграла.

Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а ( х ( в) и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна

S = lim ( f((i)(хi

Но, по определению, f(х)dх = lim ( f((i)(хi следовательно,

S = f(х)dх

Таким образом, в случае, когда f(х) ( 0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а ( х ( в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

( f((i)(хi равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом
[а,в] оси Ох (а ( х ( в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х
= а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а ( х ( в, то есть, для любого х ( [а,в], существует интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)(0 ( t([а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)

Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.

Теорема. (Ньютона–Лейбница)

Производная определённого интеграла от непрерывной на [а,в] функции f
, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.

F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)1, х ( [а,в] .

Доказательство: Пусть х ( [а,в], х + (х ( [а,в]; тогда в силу теоремы
1 пункта 2.12. получим

F(х +(х) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt

Найдём соответствующее приращение (F функции F. Используя равенства
(V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем

(F = F(х +(х) – F(х) = f(t)dt = f(с)(х, где с ( [х, х +(х]

Вычислим производную функции (V):

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата