Предыдущая страница реферата | 9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 | Следующая страница реферата

F[((t)] = f[((t)](’(t)dt.

Отсюда f[((t)](’(t)dt = F[((()] – F[((()] = F(в) – F(а)

Так как f(х)dх = F(в) – F(а) то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.

Пример. Вычислить интеграл

J = х 1+х2 dх

Подставим 1+х2 = t, то есть, х = t2 –1 . Имеем: t = 1, при х =0, t = (2, при х = 1. Так как dх = tdt/ t2 –1 , то

J = t2dt = t3/3| = (2(2 – 1)/3.

13 Интегрирование по частям.

Пусть функции f(х) и ((х) непрерывны вместе со своими производными в интервале [а,в]. Пусть, далее,

F(х) = f(х) ((х).

Тогда F’(х) = f(х) (’(х) f’(х) ((х).

Так как F’(х)dх = F(х)| , то [f(х) (’(х) f’(х) ((х)]dх = f(х) ((х)| , откуда f(х) (’(х)dх = f(х) ((х)| – f’(х) ((х)dх

Примеры.

1) Вычислить интеграл. х cos х dх

Положив f(х) = х, ((х) = sin х получим: х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2

2) Вычислить интеграл ln х dх.

Положив f(х) = ln х, ((х) = х получим: ln х dх = [х ln х] – х(dх/х) =

= [х ln х] – [х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1

Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний человечества.

Однако появление анализа бесконечно малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки. Оно в действительности было завершением длительного процесса, внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.

Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, особенно
Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление квадратур, кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей и т.д.

1 Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы

Архимеда.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем.
Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 | Следующая страница реферата