Предыдущая страница реферата | 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 | Следующая страница реферата

Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или гиперболы.

В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной телесной величины.»

Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел
– меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков.

Архимед фактически вводит понятие интегральных сумм, верхних Vп и нижних vп и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п ( (. Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения. Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы: хdх = а2/2, х2dх = а3/3, (х2 + вх)dх = а3/3 + а2в/2

В своём произведении «О шаре и цилиндре» он определил интегралы:

1/2 sin ( d( = 1, sin ( d( = – cos ( + 1.

Конечно у Архимеда нет ещё общих понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления. Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры. Несмотря на то, что квадратура параболы и кубатура сфероида сводятся к определению одного и того же интеграла, Архимед пользовался для решения этих задач различными методами.

В виде примера метода интегральных сумм приведём решение Архимедом задачи вычисления объёма эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах».

Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объёмная) величина Е(0. Делим
ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры, суммы объёмов которых, соответственно обозначим, Von и Vвn. Их разность равна объёму цилиндрика АА1, то есть, (а2(в/п), который подбором достаточно большего п может быть сделан сколь угодно малым.

Теперь предположим, что на данном рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его объём. В таком случае

Vоп = (hа2 + (h(х1)2 + (h(х2)2 +(h(хп-1)2 =

= (h( (хk)2, (х0 = 0)

Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:

Так как х2/а2 + у2/в2 = 1, то х2 = а2/в2(в2 – у2) и далее каждого сечения: (х1)2 = а2/в2(в2 – h2),

(х2)2 = а2/в2(в2 – (2h)2),

…………………………,

(хп-1)2 = а2/в2(в2 – [(п–1)h]2), откуда Vоп = ((h(хk)2 = ((hа2)/в2[пв2 – h2((2], где
( – последовательные натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида (п3h2)/3 ( (((h)2
( ((п+1)3 h3)/3 откуда (так как пh = в)

(в3)/3 ( (((h)2h ( в3/3 + в3/п + в3/п2 + в3/3п3 что до известной степени эквивалентно оценке для ( х2dх из этих оценок получается

Vоп = ((а2/в2)h [пв2 – h2(п3/3)] = (а2в(1–1/3) = 2/3(а2в

Аналогично Vвп ( 2/3(а2в.

Но так как согласно лемме, Vоп – Vвп ( Е, то искомый объём сегмента

V ( 2/3(а2в, то есть, равен удвоенному объёму конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.

Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 | Следующая страница реферата