Предыдущая страница реферата | 8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 | Следующая страница реферата

F’(х) = lim = lim = lim f(с)

Если (х( 0, то х + (х( 0 и с ( х, так как с ( [х, х+(х]. Тогда в силу непрерывности f получим

F’(х) = lim f(с) = f(х)

Что и требовалось установить.

Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а,в] функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных является интеграл (V).

Действительно, пусть функция f непрерывна на [а,в]; тогда она интегрируема на любом на [а,х], где х ( [а,в], то есть, существует интеграл (V), который и является первообразной функцией для f .
Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а,в] функции f можно записать в виде f(х)dх = f(t)dt + С, х ( [а,в] где С – произвольная постоянная.

2.11. Формула Ньютона–Лейбница.

Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а,в] функции f, то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле f(х)dх = Ф(в) – Ф(а).

Доказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f . В силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для функции f . Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем f(х)dх = Ф(х) + С (1)

Положим в последнем равенстве х = а. Так как f(х)dх = 0, то Ф(а) + С = 0, откуда С = – Ф(а)

Подставляя найденное значение С в соотношение (1), имеем f(х)dх = Ф(х) – Ф(а).

Полагая в последнем соотношении х = в и обозначая переменную t через х, окончательно получим равенство указанное в теореме.

Формулу Ньютона–Лейбница в сокращённом виде принято записывать так: f(х)dх = Ф(х)| = Ф(в) – Ф(а)

Примеры.

1) sin хdх = – cos х| = – cos 2( + cos 0 = 0.

2) = ln |x + x2+1| = ln (1+(2) – ln 1 = ln (1+(2)

12 Замены переменных в определённых интегралах.

Пусть требуется в определённом интеграле f(х)dх применить подстановку х = ((t). Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определённом интеграле: f(х)dх = f [((t)](’(t)dt, где ((() = а, ((() = в.

Эту формулу мы докажем при условиях:

1. Функции ((t) и (’(t) непрерывны в [(, (].

2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х = ((t) принимает в [(, (].

3. ((() = а, ((() = в.

4. Доказательство: Обозначим через М и т наибольшее и наименьшее значения функции х = ((t) в [(, (]. Пусть

F(х) = f(х)dх, т ( х ( М.

По теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [(,
(] справедливо равенство

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 | Следующая страница реферата