Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic]

(1)

Оно описывает всякого рода колебательные движения в среде низкого сопротивления.

Уравнение (1) условимся называть квазилинейным, а колебания, которые оно описывает, — квазилинейными колебаниями. Функция f может быть весьма общего вида и, в частности, даже разрывной.

Уравнение

[pic]

(1.2)

называется порождающим. Оно описывает гармонические колебания. Общее решение этого уравнения:

х=acos(?t+?),

оно описывает некоторый колебательный процесс, обладающий частотой ?.
Естественно предположить, что в случае малых значений ? решение уравнения (1) будет описывать также некоторый колебательный процесс.

Для получения приближенного решения уравнения (1) при достаточно малых значениях параметра ? Ван-дер-Поль предложил особый прием, названный им методом «медленно меняющихся» коэффициентов, аналогичный одному из методов, применявшихся еще Лагранжем в небесной механике. Он представил истинное решение уравнения (1) в виде функции, выражающей гармонические колебания:

х=acos(?t+?)

(2)

с медленно меняющимися амплитудой а и фазой ?, которые должны находиться из системы дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

[pic] ,

(3)

составленными по определенному правилу. Уравнения (3), так называемые
«укороченные уравнения» Ван-дер-Поля, позволяют сравнительно просто получить приближенное решение исходного уравнения (1). В частности, задача отыскания периодического решения уравнения (1) сводится к значительно более простой задаче нахождения состояния равновесия системы, описываемой
«укороченными уравнениями» (3).

Перейдем к составлению «укороченных уравнений» для рассматриваемого уравнения (1), или эквивалентной ему системы двух уравнений первого порядка

[pic]

(4)

Прежде всего, заметим, что при ?=0 уравнение (1) превращается в дифференциальное уравнение обычного гармонического осциллятора, и тогда решение системы (4) имеет вид:

[pic] (5) где а и ?— постоянные интегрирования.

Будем отыскивать решение уравнения (4) при достаточно малых значениях параметра ? в виде выражений (5), но уже считая а и ? не постоянными, а некоторыми функциями времени. Для этого будем рассматривать выражения (5) не как решения уравнения (4) при ? = 0, а как формулы замены старых переменных х и у на новые переменные а и ?.

Сделаем замену: [pic].

Продифференцировав выражения (5) по t, подставим значения производных в уравнениях (4). Принимая во внимание формулы (5), получаем систему уравнений относительно производных, новых переменных а и ?:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение ломоносов, новшество.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата