Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Розглянемо випадок, коли рівняння (2.1) має гіперболічний тип у деякій області G((. У цій області характеристичне рівняння має два різних загальних інтеграла ((x,y)=const та ((x,y)=const.

Зробимо заміну описану вище: (=((x,y) та (=((x,y), отримаємо:

[pic]

[pic] (2.6) де [pic]

Рівняння (2.6) називається канонічною формою рівнянь гіпер-болічного типу. Покажемо, що характеристиками рівняння (2.6) будуть прямі, паралельні координатним осям, тобто ( = const, ( = const.

Для (2.6) рівнянням характеристичних змінних буде d(d( = 0.

Звідки будемо мати

( = const, ( = const.

§3. Формула Остроградського-Гаусса.

Нехай P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – три функциї змінних x, y, z, які задані у області D’ и мають в ній неперервні похідні першого порядку по x, по y та по z.
Розглянемо у D’ деяку замкнену поверхню S, яка складається з скінченного числа кусків з неперервно змінюючеюся на них дотичною площиною.
Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крім того, вважати, що прямі, паралельні координатним осям, зустрічають її або у скінченному числі точок, або мають загальним цілий відрізок.
Розглянемо інтеграл

[pic], (3.1) де через cos(nx), cos(ny), cos(nz) обозначені косінуси кутов, які складені внутрішньою нормаллю до поверхні S з осями координат, а dS – додатній елемент поверхні. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати
P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо літерою Т. Тоді

P cos(nx) + Q cos(ny) + Rcos(nz) = Tn, де Tn – проєкція вектора Т на напрям внутрішньої нормалі.
Класична теорема з інтегрального счислення дозволяє перейти від поверхневого інтегралу (3.1) до об’ємного, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S (яка задовольняє всім обмеженням, які було наведено вище). Ми будемо мати:

[pic] або у векторних позначеннях

[pic] (3.2) где dv означає диференціал об’єму, а

[pic].
Приведена нами формула справедлива у більш загальних припущеннях відносно
S. Зокрема, формула (3.2) має місце для будь-якій кусочно – гладкої поверхні S, яка обмежує деяку область D.

§4. Існування та єдиність розв’язку

задачі Гурса.

Розглянемо найпростішу задачу з даними на характеристиках

[pic] (4.1)
Додаткові умови даються на прямих x = 0 та t = 0, які, як було доведено вище, є характеристиками рівняння (4.1). Будемо вважати, що функції ((x) та
((t) диференцюємі та задовольняють умові спряжіння ((0) = ((0). Інтегруючи послідовно по x та по t рівняння (4.1), отримуємо:

[pic]

[pic] або

[pic] (4.2)
Таким чином, для найпростішого рівняння, яке не містить перших похідних
[pic] та шукаємої функції, розв’язок представляється у явному аналітичному вигляді (4.2). З формули (4.2) безпосередньо слідує єдиність та існування розв’язку поставленої задачі.
Перейдемо до розв’язку лінійного рівняння гіперболічного типу

[pic] (4.3) при додаткових умовах на характеристиках x = 0, t = 0 u(x, 0) = ((x), u(0, t) = ((t), (4.4) де ((x) та ((t) задовільнюють вимогам диференцюємості та спряження.
Коефіцієнти a, b та c будемо вважати неперервними функціями x та t.
Формула (4.3) показує, що функція u(x, t) задовільнює інтегро- диференційному рівнянню

[pic] (4.5)
Для доведення існування та єдиності розв’язку рівняння (4.5) скористаємось методом послідовних наближень. Виберемо в якості нульового наближення функцію u(x, t) = 0.
Тоді (4.5) дає для послідовних наближень слідуючі вирази:

[pic] (4.6)
Зауважимо, що

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: компьютер реферат, шпаргалки по менеджменту.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата