Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

[pic] (4.7)
Доведемо рівномірну збіжність послідовностей

{un(x, t)}, [pic], [pic].
Для цього розглянемо різниці
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
Нехай М – верхня межа абсолютних величин коефіцієнтів a(x, t), b(x, t), c(x, t) та H – верхня межа абсолютних величин z0 = u1(x, t) та її похідних

|z0| < H, [pic][pic] при зміні x та t всередині деякого квадрату (0 ( x ( L, 0 ( t ( L).
Побудуємо мажорантні оцінки для функцій [pic] Очевидно, що

[pic]
Припустимо, що мають місце рекурентні оцінки

[pic] де К > 0 – деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись ціми оцінками та формулою для (n+1)-го наближення після деяких спрощінь, які посилюють нерівність, маємо:
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

[pic] де

K = L + 2.
В правих частинах цих нерівностей з точністю до множників пропорційності стоять загальні члени розкладання функції е2KLM. Ці оцінки показують, що послідовності функцій

[pic] збігаються рівномірно до граничних функцій, котрі ми зазначимо

[pic]
Переходячи до границі під знаком інтегралу у формулах (4.6) та (4.7), будемо мати:

[pic]
Звідси випливають рівності

[pic]

[pic], які дозволяють встановити, що функція u(x, t) задовільнює інтегро- диференційному рівнянню

[pic] (4.5) а також диференційному рівнянню (4.3), що перевіряється безпосереднім диференціюванням рівняння (4.5) по x та по t. Функція
[pic] задовільнює також додатковим умовам.
Доведемо тепер єдиність розв’язку задачі (4.3)-(4.4). Припустимо існування двох розв’язків u1(x, t) та u2(x, t). Отримуємо для їх різниці

U(x, t) = u1(x, t) – u2(x, t) однорідне інтегро-диференційне рівняння

[pic]
Позначаючи далі через H1 верхню межу абсолютних величин

[pic], [pic], [pic] для 0 ( x ( L, 0 ( t ( L та повторюючи оцінки, які було проведено для функцій zn(x, t), переконуємось у справедливості нерівності

[pic] для будь-якого значення n. Звідси і випливає

U(x, t) ( 0 або u1(x, t) ( u2(x, t), що і доводить єдиність розв’язку задачі Гурса.

§5. Спряжені диференційні оператори.

Розглянемо лінійний диференційний оператор 2-го порядку

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: компьютер реферат, шпаргалки по менеджменту.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата